Sequência de Fibonacci e Número de Ouro

Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200)

A Sequência de Fibonacci consiste em uma sucessão de números, tais que, definindo os dois primeiros da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

Dessa sequência, extrai-se o número transcedental conhecido como número de ouro

Retângulo Áureo e o Nautilus

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Conjectura de Goldbach

A Conjectura de Goldbach foi pela primeira vez enunciada numa carta que Christian Goldbach enviou ao famoso matemático suíço Leonard Eüler no dia 7 de Julho de 1742. 

Conjectura de Goldbach, proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, é um dos problemas não resolvidos da Matemática, mais precisamente da Teoria dos Números, mais antigos atualmente.

Ela diz que todo número par maior ou igual a 2 é a soma de dois primos.

Por exemplo:

4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.

Eüler constatou que esta afirmação a ser verdadeira se decompunha em duas: todo o número par, maior que dois, é a soma de dois primos; todo o número ímpar é a soma de três primos (Ironicamente, não foi Goldbach mas Eüler quem expressou a conjectura que tem o nome do primeiro). 

Verificações por computador já confirmaram a conjectura de Goldbach para vários números.

No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.

Na verdade, para todos os números pares para os quais, até hoje, foram feitos cálculos, sempre se encontraram dois números primos que a satisfizessem. E muitos matemáticos tentaram efectuar cálculos:

• Georg Cantor (1845-1918), efectuou em 1894 todas as decomposições possíveis, como soma de dois números primos, de todos os números pares inferiores a 1000.
• Aubry estendeu a lista de Cantor até 2000.
• R. Haussner, em 1897, estendeu essa tabela até 5000. 
• Em 1937, o matemático soviético I. M. Vinogradov demonstrou, usando somas trigonométricas adequadas, que qualquer número ímpar suficientemente grande é soma de três números primos.  
  O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: todo número par é a soma de até 6 números primos.
• Com a ajuda do computador já foi possível constatar a veracidade da hipótese para números da ordem de 10 elevado a 14.