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domingo, 19 de dezembro de 2010

Ramos da Matemática

 Breve descrição dos principais ramos da Matemática.
Álgebra. O estudo da Álgebra se iniciou no mundo antigo, com a invenção dos sistemas de representação numérica e suas aplicações a problemas envolvendo variáveis desconhecidas. Disto se originou o primeiro grande problema da Álgebra, a resolução de equações polinomiais. As equações de grau um e dois foram estudadas na Antiguidade. No Século XVI as equações de grau três e quatro foram solucionadas na Itália por Tartaglia, G. Cardano e L. Ferrari. No início do Século XIX os matemáticos N. H. Abel e E. Galois mostraram que as equações de grau maior ou igual a cinco não podiam, em geral, serem resolvidas por radicais. Destas idéias nasceu a Teoria dos Grupos, dando origem à Álgebra Abstrata. Os principais ramos da Ágebra hoje são Curvas Algébricas, Equações Algébricas, Funções Algébricas, Geometria Algébrica, Grupos Algébricos, Corpos Algébricos Numéricos e Variedades Algébricas.
Análise. O estudo da Análise se iniciou na Grécia Antiga com Eudoxus (4º século antes de Cristo) e Arquimedes (3º século antes de Cristo) quando desenvolveram o método da exaustão para o cálculo de áreas e volumes. Este problema foi retomado nos séculos XVI e XVII por F. Viéte, J. Kepler e B. Cavalieri. Ainda no Século XVII R. Descartes, P. de Fermat, B. Pascal e J. Wallis desenvolveram novos métodos para o cálculo de áreas e volumes e para a solução do problema de determinar a tangente a uma curva. Em 1684 foi publicado o primeiro trabalho de G. W. Leibniz sobre Cálculo e, em 1687, o Principia de I. Newton. Essas duas obras exerceram grande influência, dando origem ao Cálculo Diferencial e Integral e a outros ramos da Análise. Os principais ramos da Análise hoje são Funções Analíticas, Conjuntos Analíticos, Espaços Analíticos, Equações Diferenciais e Análise Numérica.
Geometria. Pode-se dizer que a Geometria começou a se desenvolver na pré-história, quando o homem dava os primeiros passos na abstração das formas. Muitas propriedades geométricas foram usadas pelos povos antigos, mas foram os matemáticos da Antiga Grécia que deram início à sistematização da Geometria, dando origem à primeira estrutura axiomática, a Geometria Euclidiana, descrita por Euclides em Os Elementos. Os axiomas escolhidos por Euclides deram origem ao problema da independência do quinto postulado, problema que teve grande importância no desenvolvimento da Geometria, pois deu ensejo ao aparecimento, no Século XIX, dos modelos geométricos não-euclidianos. Outro passo crucial no desenvolvimento da Geometria foi a invenção, no Século XVII, da Geometria Analítica e da Geometria Projetiva. Da Geometria se originou ainda a Topologia, que tem hoje considerável influência na Matemática.
Outros ramos da Matemática. A combinação dos métodos da Álgebra, Análise e Geometria deu origem a outros ramos da Matemática, como Teoria dos Números, Geometria Diferencial, Topologia Diferencial, Topologia Algébrica, Estatística, Probabilidade, Análise Combinatória, Sistemas Dinâmicos, Matemática Computacional, Programação Matemática, Teoria dos Jogos, etc. Por outro lado, da interação da Matemática com outras ciências se desenvolveram a História da Matemática, a Física-Matemática, a Mecânica dos Fluidos, a Termodinâmica, a Elasticidade, a Teoria Eletromagnética, os Métodos Matemáticos para a Engenharia, Economia, Biologia, Ciências Médicas e Ciências do Comportamento, a Teoria do Controle, etc. A Matemática se preocupa também com seus fundamentos epistemológicos, e assim da Lógica nasceu a Lógica Matemática.
Finalmente não poderíamos deixar de citar a Educação Matemática, disciplina científica que reúne os métodos da Pedagogia, Psicologia, Antropologia, Ciências Sociais, História, etc, com o objetivo de compreender como a Matemática é criada e de facilitar sua aprendizagem. Dedica-se ainda à construção de currículos, treinamento de professores, desenvolvimento de materiais didáticos e de novas tecnologias educacionais e promoção de competições.

Referências
http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html
[1] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales. New York, Springer Verlag, 1995.
[2] Boyer, C.B., História da Matemática, São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1974;
[3] Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2ª edição, Mathematical Society of Japan, ed. Hiyosi Itô, Cambridge, The MIT Press, 1987.
[4] Károlyi, O., Introdução à Música. Tradução: Álvaro Cabral. São Paulo, Martins Fontes, 1990.

Números Primos

Número primo é todo número inteiro maior que 1 que somente é divisível por si próprio e pela unidade.

         Algumas características:

§        Todos os números primos, exceto o 2, são números ímpares.

§        Existem mais números primos entre 1 e 100 do que entre 101 e 200.

§        Existem infinitos números primos (uma demonstração foi feita por Euclides).

§        Os números primos, exceto o número 2, são todos ímpares e se dividem em duas classes: uma composta de múltiplos de 4 menos 1 (3, 11, 19, etc.) e outra formada de múltiplos de 4 mais 1 (5, 13, 17, etc.). Para números menores que um trilhão há mais primos da classe “menos 1”. Por métodos teóricos já ficou demonstrado que para números muito grandes o padrão muda para a classe “mais 1”.

Goldbach conjecturou – o que ainda não foi demonstrado se falso ou verdadeiro – que qualquer número par superior a 2 é a soma de dois números primos:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5
12 = 5 + 7 e assim por diante.

Essa conjectura foi sugerida por Goldbach numa carta que escreveu a Euler, datada de 7 de junho de 1742. E desde então inúmeros matemáticos tentam demonstrá-la.
A tabela abaixo indica até que números sucessivamente crescentes a conjectura já foi confirmada e os respectivos matemáticos, autores das provas. Todavia, uma demonstração geral, como ocorreu com a do Último Teorema de Fermat, ainda não foi obtida.

Número
Referência
1 x 104
Desbove, 1885
1 x 105
Pipping, 1938
1 x 108
Stein, 1965
2 x 1010
Granville, 1989
4 x 1011
Sinisalo, 1993
1 x 1014
Deshouillers, 1998
4 x 1014
Richstein, 2001
2 x 1016
Oliveira e Silva, mar/ 2003
4 x 1018
Oliveira e Silva, out/2003
Provas parciais da Conjectura de Goldbach
Nota-se que o matemático português Tomás Oliveira e Silva tem perseverado na questão.
Outra conjectura, a de que existem infinitos números primos gêmeos, também não foi demonstrada. Números primos gêmeos são números primos cuja diferença é 2, tais como 17 e 19, 41 e 43 ou 59 e 61.
Os números primos vêm intrigando os matemáticos há muito tempo. Dizem que muitos deles enlouqueceram tentando obter uma fórmula geral para esses números.

Os dez maiores números primos conhecidos (até 06/09/2004).  

Maiores primos conhecidos
Nº de dígitos
224036583-1
220996011-1
213466917-1
26972593-1
5359.25054502+1
1521561
23021377-1
22976221-1
1372930131072+1
804474
1361244131072+1
803988
1176694131072+1
795695
                                                                          

Referências
http://www.utm.edu/research/primes/largest.html

domingo, 12 de dezembro de 2010

A Matemática delirante (fractais)

Bem fractais é um pouco complicado de  compreender, mais espero que possa ajudar, pois mesmo sendo dificil é bem interessante.  

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Já a capa de uma revista, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.
      Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias - como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão 1.Só a chamada geometria dos fractais consegue descrevê-lo.

Essa nova área das ciências matemáticas vem tendo uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies intrin-cadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo.
diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do latino fractus, que significa irregular ou quebrado, como ele próprio disse: "Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é contudo sabido – e como isto é apropriado para os nossos propósitos! – que, além de significar quebrado ou partido, fractus também significa irregular. Os dois significados estão preservados.
Os fractais são formas geométricas abstractas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objectos e aqueles encontrados na natureza.
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes.em fragmento".

A geometria fractal é o ramo da matemativa que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciencia, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala . Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.




Referências:
http://www.iot.org.br/caostopia/archives/o-que-sao-fractais/
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/nocoes.htm
http://www.fractarte.com.br/artigos/superinteressante.php
Imagens pesquisadas no google.

ORIGEM DOS SINAIS


    Adição ( + ) e subtração ( - )

    O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
    Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

    Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
    O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.

    O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

    Sinais de relação ( =, < e > )
    Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

    Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
    Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica


Matemática parte 1

A palavra "Matemática" tem origem na palavra grega "máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendiz agem, derivando daí "mathematikós", que significa o prazer de aprender.
É comum definir a Matemática como o estudo de tópicos como quantidades, formas, espaço e mudança, através do método dedutivo, no qual se pressupõe um conjunto de axiomas e regras de inferência como forma de obter propriedades das entidades em estudo.
Sendo uma linguagem universal, a Matemática oferece-nos um conjunto singular de ferramentas poderosas para compreender e mudar o mundo. Estas ferramentas incluem o raciocínio lógico, técnicas de resolução de problemas, e a capacidade de pensar em termos abstractos.
Podemos assim dizer que a Matemática é uma construção abstracta em que as suas noções fundamentais têm origem na percepção humana. Desde a noção de número às noções geométricas, estabeleceu-se desde muito cedo a independência da noção abstracta face à sua utilização prática. As ideias matemáticas passaram a ter uma existência própria e a universalidade da sua manipulação formal mostrou rapidamente vantagens.
Uma particularidade da Matemática reside na possibilidade de tratar as próprias noções como objecto de estudo, conferindo-lhe um carácter ainda mais abstracto. A tentativa de obter os vários resultados matemáticos numa dedução lógica, partindo de um reduzido número de ideias fundamentais, originou a estrutura axiomática que a caracteriza. A primeira iniciativa desta natureza foi concretizada pelos gregos, por exemplo no tratado "Elementos", de Euclides, onde se propõe a axiomatização da geometria (séc.. III AC).
Nas sociedades antigas, a Matemática surgiu associada a actividades práticas como a contabilidade, a medição de terrenos ou a previsão de eventos astronómicos. Ao longo da História, diferentes culturas e personalidades contribuíram para o desenvolvimento da Matemática e das suas aplicações. Após o Renascimento, a Matemática tornou-se a linguagem de referência de qualquer Ciência.
Hoje, o conhecimento assim adquirido transcende as barreiras culturais e a sua importância em muitas profissões e actividades é universalmente aceite. Em áreas como a Ciência e a Tecnologia, a Medicina, a Economia, o Ambiente e o Desenvolvimento, e a Administração Pública, o progresso e a inovação dependem frequentemente de novas descobertas matemáticas.




Referência:
http://www.e-escola.pt/canal.asp?nome=matematica#areaNameAndNav